起手关键牌概率

起手关键牌概率：完整使用指南

「起手关键牌概率」用超几何分布精确算出开局手牌里含 0 张、1 张、2 张……关键牌的概率，也能一次评估多组关键牌同时命中的情况。它解决的是一个很具体的决策问题：这套卡组里，那张你必须有才成立的牌，开局到底有多大概率在你手上。它不预测后续回合、不预测对手、不预测你会不会被抢在前面结束对局——它只管开局那几张牌。

一、为什么必须是超几何分布

卡组抽牌是「不放回抽样」：抽走的那张不会再回到牌库。这个特性让精确模型变成超几何分布，而不是很多玩家凭直觉套用的二项分布。二项分布的前提是每次抽取相互独立、且抽取后总体不变；一旦你在 60 张的牌库里抽走 4 张关键牌，剩下 56 张里只剩 2 张关键牌，命中概率每抽一张都在变。忽略这一点会让结果系统性偏高，尤其在关键牌数量多的时候。

实际差别有多大？在「牌库 60 张、关键牌 4 张、抽 7 张」这个典型场景里，二项分布给出的「至少 1 张」概率会比精确值高出好几个百分点。关键牌越多、抽牌数越多，偏差越大。所以本页默认用超几何公式，不用近似。

只有一种情况两者接近：牌库极大而抽取极少，例如从两百多张里抽一张。但 TCG 主流的牌库规模通常在 60 到 99 张、开局抽 6 到 9 张，仍然应该用超几何。

二、怎么用：四步走

1. 填卡组大小。这里填的是「不含起手」的牌库张数。如果你习惯把起手牌也算进总数，那就先减去起手张数再填，否则分母偏大，概率会偏低。
2. 填抽牌数。常规起手填 7；如果你要评估伦敦规则下先手留 6、再留 5 的情形，就分别填 6 和 5 跑两次。本工具只算起点，不替你判断该不该再留。
3. 列出关键牌。每行一张，格式「数量,名称」。可以列多张，它们会被合并成同一个「关键牌集合」来算命中张数分布；也可以在「多关键牌同时命中」标签页里挑出其中 2 到 4 张，分别算「同时含 N 张」的概率。
4. 读分布，再读阈值线。先看整条分布曲线的形状，再看工具标出的几个常用参考线，然后结合你需要的最低张数做决策。

三、结果怎么判断

先看「含 0 张」的概率。如果这个数字超过六成，意味着你大概率开局什么都看不到——这不是必然坏事，取决于这套牌是否允许慢热，但它是换牌或调整张数时最该盯的指标。

再看「至少 1 张」。业界常用的安全线是百分之六十五以上，意思是开局大概率能看见它，可以把它当作常规运转的一部分来规划。

然后看「至少 2 张」。如果你要做的是需要两张牌配合的组合，这条线通常放在百分之三十五以上，称为「双开期望线」。低于这条线时，组合成立的回合会被显著推后，这时应该考虑补一张关键牌或者把组合拆得更宽容。

最后看分布的形状。如果「1 张」那一档特别高而「2 张」几乎为零，说明你的关键牌是「独苗型」的——要嘛完整要么缺席，没有中间状态。这在实战里会让对局节奏呈现两极化，要么开局就转，要么完全转不了。

四、最容易算错的地方

第一个错误是把「至少 N 张」当成「恰好 N 张」。数学上「至少 1 张」是「1 张、2 张、3 张……任意多个」的并集，必然大于或等于任何单一档位。看到工具给出两个不同数字时，别以为其中有错。

第二个错误是卡组大小与抽牌数口径不一致。最常见的错法是把 60 张的牌库加上 7 张起手当成 67 张填进去，然后抽 7 张——这等于凭空多放了 7 张牌。

第三个错误是把 mulligan 之后的牌数当成「再抽」。伦敦规则下先手留 6 时，那 7 张已经抽完、其中 1 张放回去不再参与后续计算，正确做法是把抽牌数改成 6 重新算，而不是在原结果上做文章。

第四个错误是列了太多张关键牌。列了 12 张各一张的关键牌集合，命中率会高到失去意义。要评估的是「必须存在的那几张」，而不是「所有重要的牌」。

五、适用范围与边界

本工具只覆盖开局抽样这一段。后续回合的补给、对手的压力、你是否会因为抽不到而被迫换掉整手牌，全都不在这个模型里。它是静态概率，不含任何动态决策，也不含博弈。实际对局中你会根据已经看到的信息调整期望，而工具给的是「什么都不发生时」的基准线。另外提醒一句：涉及概率与统计基准的数值均属经验估算，非精确求解，结论请结合自己的实际对局记录一起看。